با توجه به عددهای داده شده a و b جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید. با مقایسه‌ی دو ستون آخر جدول چه حدسی می‌زنید؟
پاسخ تشریحی:
**۱. تکمیل جدول:**
برای کامل کردن جدول، مقادیر خواسته‌شده را برای هر ردیف محاسبه می‌کنیم.
| a | $ \sqrt[۳]{a} $ | b | $ \sqrt[۳]{b} $ | ab | $ \sqrt[۳]{ab} $ | $ \sqrt[۳]{a} \times \sqrt[۳]{b} $ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ۸ | ۲ | ۱۲۵ | ۵ | ۱۰۰۰ | ۱۰ | $۲ \times ۵ = ۱۰$ |
| ۲۷ | **۳** | $ \frac{۱}{۸} $ | **$ \frac{۱}{۲} $** | **$ \frac{۲۷}{۸} $** | **$ \frac{۳}{۲} $** | **$۳ \times \frac{۱}{۲} = \frac{۳}{۲}$** |
| -۸ | **-۲** | ۲۷ | **۳** | **-۲۱۶** | **-۶** | **$(-۲) \times ۳ = -۶$** |
**۲. حدس (نتیجه‌گیری):**
با مقایسه‌ی دو ستون آخر، مشاهده می‌کنیم که در تمام موارد، مقدار دو ستون با یکدیگر **برابر** است.
**حدس:** به نظر می‌رسد برای هر دو عدد $a$ و $b$، ریشه‌ی سوم حاصل‌ضرب آنها با حاصل‌ضرب ریشه‌های سوم آنها برابر است.
این حدس، همان قانون کلی **ضرب رادیکال‌ها با فرجه‌ی یکسان** است که به صورت فرمول زیر بیان می‌شود:
$$ \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $$
۱- آیا تساوی زیر برقرار است؟ توضیح دهید.
$ \sqrt[3]{۸} + \sqrt[3]{۲۷} = \sqrt[3]{۸+۲۷} $
پاسخ تشریحی:
**خیر**، این تساوی برقرار **نیست**.
**توضیح:**
این مسئله نشان می‌دهد که رادیکال، بر خلاف ضرب و تقسیم، روی عملیات جمع و تفریق **پخش‌پذیر نیست**. یعنی نمی‌توان ریشه‌ی یک مجموع را با مجموع ریشه‌ها برابر دانست.
برای نشان دادن نادرستی این تساوی، حاصل دو طرف را جداگانه محاسبه می‌کنیم:
* **محاسبه‌ی سمت چپ تساوی:**
$ \sqrt[۳]{۸} + \sqrt[۳]{۲۷} = ۲ + ۳ = ۵ $
* **محاسبه‌ی سمت راست تساوی:**
$ \sqrt[۳]{۸+۲۷} = \sqrt[۳]{۳۵} $
* **مقایسه:**
می‌دانیم که $ ۳^۳ = ۲۷ $ و $ ۴^۳ = ۶۴ $. چون عدد ۳۵ بین ۲۷ و ۶۴ قرار دارد، پس ریشه‌ی سوم آن نیز عددی بین ۳ و ۴ خواهد بود ($ ۳ < \sqrt[۳]{۳۵} < ۴ $).
از آنجایی که سمت چپ تساوی برابر **۵** است و سمت راست آن عددی **بین ۳ و ۴** است، این دو مقدار با هم برابر نیستند.
**قانون کلی:** $ \sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} $
۲- در تساوی‌های زیر جاهای خالی را کامل کنید:
پاسخ تشریحی:
این تمرین‌ها به ساده‌سازی و محاسبه‌ی عبارات رادیکالی با استفاده از قوانین ضرب و تقسیم رادیکال‌ها می‌پردازد.
* **$ \sqrt[۳]{-۲} \times \sqrt[۳]{۴} = \sqrt[۳]{(-۲) \times ۴} = \sqrt[۳]{-۸} = -۲ $**
(توجه: به نظر می‌رسد در متن سوال اصلی ($۱۵ \sqrt[۳]{-۸}$) اشتباه تایپی وجود دارد. پاسخ بر اساس عبارت سمت چپ نوشته شده است.)
* **$ \sqrt[۳]{۴} \times \sqrt[۳]{۱۶} = \sqrt[۳]{۴ \times ۱۶} = \sqrt[۳]{۶۴} = ۴ $**
* **$ \sqrt[۳]{۲۰} = \sqrt[۳]{۴} \times \sqrt[۳]{۵} $**
(خاصیت ضرب رادیکال‌ها به صورت برعکس برای تجزیه‌ی عدد زیر رادیکال استفاده شده است.)
* **$ \sqrt{۱۲۸} = \sqrt{۶۴} \times \sqrt{۲} = ۸\sqrt{۲} $**
(برای ساده‌سازی رادیکال، آن را به حاصل‌ضرب یک مربع کامل در عدد دیگر تبدیل می‌کنیم.)
* **$ \sqrt[۳]{\frac{-۵۴}{۲}} = \sqrt[۳]{-۲۷} = -۳ $**
(ابتدا کسر زیر رادیکال ساده شده است.)
* **$ \sqrt[۳]{\frac{۱۲۵}{۶۴}} = \frac{\sqrt[۳]{۱۲۵}}{\sqrt[۳]{۶۴}} = \frac{۵}{۴} $**
(ریشه‌ی یک کسر برابر است با ریشه‌ی صورت تقسیم بر ریشه‌ی مخرج.)
